საკვანძო სიტყვები
conditional distribution
Markov chain
m -dependent sequence controlled by the Markov chain
2010 Mathematics Subject Classification
60F05
60J10
60J20
როგორ უნდა ციტირება
ანოტაცია
მრავალი პრაქტიკული ამოცანის გადაჭრის დროს დგება დამოკიდებული დაკვირვებებით პარამეტრების სტატისტიკური შეფასებების აგების საკითხი. მაგალითად პროფესიული კოლეჯების რანჟირების მოდელის დასადგენად ჩატარებულ კვლევაში სტუდენტების გამოკითხვით მიღებული მონაცემები დამოკიდებულია ერთმანეთზე, გამომდინარე იქედან, რომ ისინი მიღებულია ერთი სოციუმის ჯგუფიდან (R. Chartolani, N. Durglishvili, Z. Kvatadze. Optimization of a State Financing Model of Vocational Colleges. Proc. A. Razmadze Math. Inst. 2015. 169.(2-15), pp. 23-31). ასევე ვერ უგულვებელვყოფთ მონაცემთა დამოკიდებულებას გეოფიზიკური მიმართულების სხვადასხვა კვლევების დროსაც. მაგალითად მიწისძვრის წინა (მოსამზადებელ) პერიოდში ქანებში მიმდინარე ტექტონიკური პროცესები დროში უწყვეტად ვითარდება და შესაბამისად დისკრეტულ მომენტებში აღებული ნებისმიერი მახასიათებლის ჩანაწერები როგორც ერთი მთლიანის გამოვლინებები დამოკიდებულია ერთმანეთზე. ანალოგიური მოსაზრებებიდან გამომდინარე სხვადასხვა პოპულაციების განაწილების კანონის დადგენის დროს ხდება სიმკვრივის შეფასების აგება დამოკიდებული დაკვირვებებით. მაგალითად ცნობილია სიმკვრივის არაპარამეტრული შეფასებები და რეგრესიის კოეფიციენტების შეფასებები რომლებიც აგებულია მარკოვის ჯაჭვად შეკრული დაკვირვებებით (Yakowitz Sidney (1989) Nonparametric density and regression estimation for Markov sequences without mixing assumptions. 85721–Journal of Multivariate Analysis, 30: 124-136. Arisona, USA). ასევე განიხილება პირობითად დამოუკიდებელი და ჯაჭვურად დამოკიდებული დაკვირვებები. ცნობილია მათი საშუალებით აგებული სიმკვრივის გულოვანი შეფასებები და მათი სიზუსტე მეტრიკით (Z, Kvatadze, B. Phardjiani. On the Exsactness of Distribution Density Estimates Constructed by Some Class of Dependent Observations. Mathematics and Statistics. 2019 Vol. 7(4), pp. 135-145. SAN JOSE) და მეტრიკით (B. Parjiani, L. Labadze, T. Kvatadze; Georgian Scientists, “On the accuracyby the metric L1 of the density estimation constructed by dependent observations” Vol. 5. Issue 1, pp. 308-321, 2023). დამოკიდებული დაკვირვებებით სტატისტიკური შეფასებების ასაგებად და მათი ძალმოსილობის დასადგენად საჭიროა დამოკიდებელი შემთხვევითი სიდიდეების ჯამების განაწილების ასიმპტოტიკის ცოდნა. თანამედროვე ეტაპზე ხდება დამოუკიდებელ შემთხვევით სიდიდეთა შეკრების მდიდარი თეორიის (Normal Approximation Some Recent Advances. Sazonov V. V. Lecture Notes in Math. V. 79, Berlin, ete., :Springer. 1981.) გადატანა დამოკიდებულ შემთხვევით სიდიდეებზე. მრავალ ამოცანაში გამოიყენება მარკოვული დამოკიდებულება, რომელიც სუსტად დამოკიდებულების ერთ-ერთი სახეა. სხვადასხვა ტიპის დამოკიდებულების (სუსტად დამოკიდებული, პირობითად დამოუკიდებული, მარკოვის ჯაჭვად შეკრული) შემთხვევითი სიდიდეების ჯამების ზღვარითი ასიმპტოტიკის საკითხები მრავალ ნაშრომშია გადმოცემული. ხშირად განიხილება ისეთ შემთხვევით სიდიდეთა ჯამები, რომელთა ერთობლივი განაწილება განისაზღვრება შემთხვევით ელემენტთა რაიმე მმართველი მიმდევრობით. განიხილება პირობითად დამოუკიდებელი (Bokuchava I. V. Limit theorems for conditionally independent sequences. (in Russian) Teor. Verojatnost. i Primenen. XXIX. (1984). №1, p. 192-193) და ჯაჭვურად დამოკიდებული მიმდევრობები. ამ საკითხებს ეხება მაგალითად გ. ობრაინის ( O’ Braien G.L. Limit Theorems for Sum of Chain Dependent Proccesses. U. Appl. Probab., 1974, 11, 582-587); ი. ალეშკიავიჩუსის ( G. YU. Aleshkyavichus, On the central limit theorem for sums of random variables given on a Markov chain. (Russian) Lithuanian Mathematical Collected Works, Vilnius 6 (1966), №. 1, 15−22.); რ. ჩიტაშვილის, თ. შერვაშიძის, ი. ბოკუჩავას, ზ. ქვათაძის (Bokuchava I., Kvatadze Z., Shervashidze T. On Limit theorem for random vectors controlled by a Marcov chain. Prob. Theory and Math. Stat., Vol. 1, 1986, 239-250. VNU Science Press, Utrecht.) და სხვათა ნაშრომები. წინამდებარე ნაშრომში განხილულია პირობითად −დამოუკიდებულ ვექტორთა მიმდევრობების კლასი და ჯაჭვურად −დამოკიდებულ ვექტორთა მიმდევრობების კლასი (Kvatadze Z., ShervashidzeT. Some limit theorems for I.I.D. and Conditionally independent random variables. The second international Conference, “Problems of Cybernetics and Informatics”. September 10-12, 2008. Baku. Azerbaijan. Section № 4. “Applied Stochastic Analysis”. Institute of Information Technologies of NASA. Printing House of “Information Technology” Baku. 2008. Vol. II, 217-219). დადგენილია მათი ნორმირებული ჯამის ზღვარითი განაწილება. არარეგულარული ერგოდული ჯაჭვის შემთხვევაში ჯაჭვურად −დამოკიდებულ ვექტორთა მიმდევრობაზე განსაზღვრულია ფუნქციათა მიმდევრობა. მიღებულია ამ ფუნქციათა მიმდევრობის ნორმირებული ჯამის ზღვარითი კოვარიაციის მატრიცის წარმოდგენა მატრიცული სახით. ჯაჭვის შესაბამისი ფუნდამენტური მატრიცა და ზღვარითი მახასიათებლები ციკლური ქვეკლასების არსებობის შემთხვევაში გამოთვლილია ჩეზაროს აზრით კრებადობის გამოყენებით. განაწილების ფუნქციათა სივრცეზე განაწილებების კრებადობის განხილვის დროს ხშირად გამოიყენება ლევი-პროხოროვის მეტრიკა . ამიტომ ბუნებრივია საინტერესოა საკითხი ფუნქციათა ჯამის განაწილების ორი ნორმალური წანაცვლებული განაწილებისგან შედგენილ ზოლში მოხვედრის ზღვარითი ალბათობის დადგენის შესახებ. ნაშრომში განხილულია პირობითად −დამოკიდებულ ვექტორთა მიმდევრობის ნორმირებული ჯამი. დადგენილია ამ ჯამის პირობითი განაწილების ორი წანაცვლებული ნორმალური განაწილებისგან შედგენილ ზოლში მოხვედრის ზღვარითი ალბათობა. ამ განაწილებების კოვარიაციის მატრიცა გამოსახულია ჯაჭვის პარამეტრების საშუალებით. დადგენილია ასეთივე ზღვარითი ალბათობა ჯაჭვურად −დამოკიდებულ ვექტორთა მიმდევრობის ნორმირებული ჯამისთვის.
წყაროები
Normal Approximation Some Recent Advances. Sazonov V. V. Lecture Notes in Math. V. 79, Berlin, ete.,:Springer. 1981. https://www.amazon.com/Normal-Approximation-Advances-Lecture-Mathematics/dp/3540108637
Bokuchava I. V. Limit theorems for conditionally independent sequences. (in Russian) Teor. Verojatnost. i Primenen. XXIX. (1984). №1, p. 192-193.
https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tvp&paperid=1992&option_lang=rus
Kvatadze Z., Shervashidze T. Some limit theorems for I.I.D. and Conditionally independent random variables. The second international Conference, “Problems of Cybernetics and Informatics”. September 10-12, 2008. Baku. Azerbaijan. Section № 4. “Applied Stochastic Analysis”. www.pci2008.science.az/4/12.pdf. Azerbaijan National Academy of Sciences. Institute of Information Technologies of NASA. Printing House of “Information Technology” Baku. 2008. Vol. II, 217-219.,
https://ict.az/uploads/konfrans/PCI2008/Pci%202008%20v%202/58.pdf
O’ Brien G. L. Limit Theorems for Sum of Chain Dependent Proccesses. U. Appl. Probab., 1974, 11, 582-587. https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of-applied-probability/article/abs/limit-theorems-for-sums-of-chaindependent-processes/279300A95BD1750B2E32FFD49AAA1B78
Bokuchava I., Kvatadze Z., Shervashidze T. On Limit theorem for random vectors controlled by a Marcov chain. Prob. Theory and Math. Stat., Vol. 1, 1986, 231-250. VNU Science Press, Utrecht. https://doi.org/10.1515/9783112319000-018 ;
Kvatadze Z., Pharjiani B., Kvatadze TS., One Example of − Dependent Vector’s Sequence. Report of XXXV enlarged session of the seminar of Ilia Vekua Institute of Applied Mathematics (VIAM), of Ivane Javakhisvili Tbilisi State University (TSU). Sept. 16-19., 2021; Volume, 35. pp. 51-54. http://www.viam.science.tsu.ge/enl_ses/vol35/vol35.html ;
Billingsley P. Convergence of probability measures (in Russian). Moscow. “Nauka”, 1971. http://bibliofilspb.ru/item.php?id=15498739 ;
J. G. Kemeny, J. L. Snell, Finite Markov chains. The university series in undergraduate mathematics. USA: Springer-Verlag; 1963, p. 272,
https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell1976.pdf
Kvatadze Z., Kvatadze TS. Limiting Distribution of a Sequence of Functions Defined on a Markov Chain. Proceedings of A. Razmadze Mathematical institute. Vol. 174. 2020. issue 2, 199-205. https://rmi.tsu.ge/transactions/TRMI-volumes/174-2/v174(2)-8.pdf ;
Doob J. Probabilstic processes. (in russian). 1956, M. “Fizmatgiz”. p. 772;
Bežaeva Z. I. Limit theorems for conditional Markov chains (in Russian). Teor. verojatn. i primen., 1971, v. XVI, № 3, p. 437–445.
https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tvp&paperid=2257&option_lang=eng;
Kvatadze Z., Shervashidze T., On Limit Theorems for Conditionally Independent Random Variable Controlled by a Finite Markov Chain. Probability Theory and Mathematical Ststistics (Proc. 5th Japan-USSR Symposium on Probability Theory. Kyoto. July 8-14 1986). Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1299, p. 250-259 Springer-Verlag, Berlin. etc., 1987. DOI · https://doi.org/10.1007/BFb0078480
ეს ნამუშევარი ლიცენზირებულია Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 საერთაშორისო ლიცენზიით .
საავტორო უფლებები (c) 2023 ქართველი მეცნიერები